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ⓘ Número trascendente. Un número trascendente, también número trascendental, es un número complejo que no es raíz de ninguna ecuación algebraica ​ Los números tra ..




                                     

ⓘ Número trascendente

Un número trascendente, también número trascendental, es un número complejo que no es raíz de ninguna ecuación algebraica ​ Los números trascendentes más conocidos son π y e.

En general, si tenemos dos cuerpos K, +, ⋅ {\displaystyle K,+,\cdot} y L, +, ⋅ {\displaystyle L,+,\cdot} de forma que el segundo es extensión del primero, diremos que α ∈ L {\displaystyle \alpha \in L} es trascendente sobre K {\displaystyle K} si no existe ningún polinomio p ∈ K ​La dificultad estriba en probar si el número propuesto es no trascendente.

La propiedad de normalidad de un número puede contribuir a demostrar si es trascendente o no.

                                     

1. Historia

La denominación "trascendental" la acuñó Leibniz cuando en un artículo de 1682 demostró que la función sin ⁡ x {\displaystyle \textstyle \sinx} no es una función algebraica de x {\displaystyle \textstyle x}, ​ en 1851 mostró algunos ejemplos entre los que estaba la "constante de Liouville":

∑ k = 1 ∞ 10 − k! = 0, 110001000000000000000001000 … {\displaystyle {\sum _{k=1}^{\infty }}10^{-k!}=0.110001000000000000000001000\ldots }

donde el enésimo dígito después de la coma decimal es 1 si n es un factorial es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720, etc. y 0 en cualquier otro caso. El primer número del que se demostró que era trascendente sin haber sido específicamente construido para ello fue e, por Charles Hermite en 1873. En 1882, Carl Louis Ferdinand von Lindemann publicó una demostración de que π es trascendente. En 1874, Georg Cantor encontró el argumento descrito anteriormente estableciendo la ubicuidad de los números trascendentes.

El descubrimiento de estos números ha permitido la demostración de la imposibilidad de resolver varios antiguos problemas de geometría que sólo permiten utilizar regla y compás. El más conocido de ellos es el de la cuadratura del círculo, y su imposibilidad radica en que π es trascendente. No ocurre lo mismo con los otros dos "problemas griegos" más famosos, la duplicación del cubo y la trisección del ángulo, que se deben la imposibilidad de construir con regla y compás números derivados de polinomios de grado superior a dos véase Número construible es significativo que estos otros dos problemas puedan resolverse con modificaciones relativamente simples del método permitiendo marcar la regla, acción que la geometría euclídea no toleraba o con métodos similares la regla y compás, como el origami, en tanto que la cuadratura del círculo, al depender de la trascendencia de π, tampoco es resoluble con esos métodos.

                                     

2. Ejemplos

Una lista de los números trascendentes más comunes:

  • Γ 1 3 {\displaystyle \Gamma \left{\frac {1}{3}}\right} y Γ 1 4 {\displaystyle \Gamma \left{\frac {1}{4}}\right} véase función Gamma.
  • ∑ k = 0 ∞ 10 − ⌊ β k ⌋ ; β > 1, {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }10^{-\lfloor \beta ^{k}\rfloor };\qquad \beta > 1\;,}
  • ln ⁡ a {\displaystyle \lna\,} si a es positivo, racional y diferente de 1. Véase logaritmo natural
  • e
  • 2 {\displaystyle 2^{\sqrt {2}}} o, de forma más general, a b {\displaystyle a^{b}\,} donde a ≠ 0, 1 {\displaystyle a\neq 0.1} es algebraico y b es algebraico pero irracional. El caso general del séptimo problema de Hilbert, es decir, la determinación de si a b {\displaystyle a^{b}\,} es trascendental cuando a ≠ 0, 1 {\displaystyle a\neq 0.1} es algebraico y b es irracional, queda demostrado parcialmente como cierto según el teorema de Gelfond-Schneider.
  • π
  • Ω {\displaystyle \Omega \,}, constante de Chaitin.
  • número de Champernowne: C 10 = 0.123456789101112131415161718192021.
donde β ↦ ⌊ β ⌋ {\displaystyle \beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor } es la función parte entera. Por ejemplo, si β = 2 el número resultan
  • ∑ k = 1 ∞ 10 − k! = 0, 110001000000000000000001000. {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }10^{-k!}=0.110001000000000000000001000.} número de Liouville