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Teoría de vigas de Timoshenko
                                     

ⓘ Teoría de vigas de Timoshenko

La teoría de vigas de Timoshenko fue desarrollada por el ingeniero ucraniano-estadounidense Stephen Timoshenko, estableciéndose como un modelo matemático riguroso ampliamente utilizado para describir la vibración transversal de vigas, postulado en la década de 1920. También denominada la teoría de vigas gruesas. Históricamente el primer modelo de viga importante fue la Teoría de Vigas de Euler-Bernoulli o teoría clásica de vigas como consecuencia de las obras de Bernoulli y Euler, creado en el año de 1744. En 1921 y 1922, Timoshenko propuso una mejora al añadir el efecto de deformación de corte. Mostró, a través del ejemplo de una viga apoyada sencilla, que la corrección frente a cortante es cuatro veces más importante debido la inercia de rotación en comparación con la teoría de Euler-Bernoulli. ​

                                     

1. Suposiciones básicas

Las suposiciones básicas de la teoría de vigas de Timoshenko están dadas por.

  • La sección transversal del elemento en una posición x {\displaystyle x} normal al eje de la viga antes de la deformación, permanece plana pero no necesariamente ortogonal al eje del elemento después de la deformación. Esto supone la presencia de un estado de tensiones cortantes en la sección de la viga γ x z ≠ 0 {\displaystyle \gamma _{xz}\neq 0}.
  • El material del elemento es homogéneo, isotrópico y lineal elástico; cumpliendo la ley de elasticidad de Hooke. Coeficiente de Poisson despreciable.
  • El desplazamiento lateral v {\displaystyle v} a lo largo del eje de la viga es nulo.
  • El desplazamiento vertical w {\displaystyle w} de los puntos que se encuentran sobre la sección transversal del elemento en una posición x {\displaystyle x}, son pequeños e iguales a los desplazamientos del eje de la viga.

Esta última suposición es la principal diferencia entre la teoría de vigas de Euler-Bernoulli y Timoshenko, que representa una mejor aproximación de la deformación de la sección transversal en vigas de gran peralte.

                                     

2. Campo de Desplazamientos

Teniendo en cuenta las suposiciones anteriores podemos definir el campo de desplazamientos. Así, por suposición número tres tenemos que:

tan ⁡ θ x ≈ θ x = d w d x + ϕ x {\displaystyle \tan \theta x\approx \theta x={\frac {dw}{dx}}+\phi x}

En donde d w d x {\displaystyle {\tfrac {dw}{dx}}} representa la pendiente del eje de la viga y ϕ x {\displaystyle \phi x} representa una rotación adicional debida la distorsión de la sección transversal. Por lo tanto,

u x, y, z = − z θ x v x, y, z = 0 w x, y, z = w x {\displaystyle ux,y,z=-z\theta x\qquad vx,y,z=0\qquad wx,y,z=wx}
                                     

3. Campo de Deformaciones

A partir del campo de desplazamientos, las ecuaciones básicas de deformación lineal y deformación angular y la suposición número 1 podemos establecer que:

ε x = d u d x = − z d θ x d x ε y = d v d y = 0 ε z = d w d z = 0 {\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {du}{dx}}=-z{\frac {d\theta x}{dx}}\qquad \varepsilon _{y}={\frac {dv}{dy}}=0\qquad \varepsilon _{z}={\frac {dw}{dz}}=0\qquad }

Y que para las deformaciones angulares resulta que:

γ x z = d w d x + d u d z = d w d x − d w d x + ϕ x) = − ϕ x γ x y = d w d y + d v d z = 0 γ y z = d v d z + d w d y = 0 {\displaystyle \gamma _{xz}={\frac {dw}{dx}}+{\frac {du}{dz}}={\frac {dw}{dx}}-\left{\frac {dw}{dx}}+\phi x\right)=-\phi x\qquad \gamma _{xy}={\frac {dw}{dy}}+{\frac {dv}{dz}}=0\qquad \gamma _{yz}={\frac {dv}{dz}}+{\frac {dw}{dy}}=0\qquad }

Aquí la Teoría de Vigas de Timoshenko introduce una deformación por tensiones tangentes la sección transversal de la viga γ x z {\displaystyle \gamma _{xz}}, que expresado en valor absoluto es igual la rotación ϕ x {\displaystyle \phi x}.



                                     

4. Campo de Esfuerzos

Teniendo en cuenta que esta teoría supone el Coeficiente de Poisson es despreciable para el cálculo de los esfuerzos normales pero no para los esfuerzos tangenciales, podemos expresar el campo de esfuerzos con la ayuda de las ecuaciones de Lamé como sigue:

σ x = λ e + 2 G ε x = E ε x = − z E d θ d x = σ y = λ e + 2 G ε y = E ε y = 0 σ z = λ e + 2 G ε z = E ε z = 0 {\displaystyle \sigma _{x}=\lambda e+2G\varepsilon _{x}=E\varepsilon _{x}=-zE{\frac {d\theta }{dx}}\qquad =\qquad \sigma _{y}=\lambda e+2G\varepsilon _{y}=E\varepsilon _{y}=0\qquad \sigma _{z}=\lambda e+2G\varepsilon _{z}=E\varepsilon _{z}=0\qquad }

Y que los esfuerzos tangenciales se escriben como:

τ x z = G γ x z = G d w d x − θ x) τ x y = G γ x y = 0 τ y z = G γ y z = 0 {\displaystyle \tau _{xz}=G\gamma _{xz}=G\left{\frac {dw}{dx}}-\theta x\right)\qquad \tau _{xy}=G\gamma _{xy}=0\qquad \tau _{yz}=G\gamma _{yz}=0\qquad }

En donde tenemos que E {\displaystyle E} es el Módulo de Young, G {\displaystyle G} es el Módulo Cortante o Módulo de Cizalladura, λ {\displaystyle \lambda } es conocido como uno de los Parámetros de Lamé y por último e {\displaystyle e} conocida como la dilatación cúbica.

                                     

5. Tensiones Resultantes

Podemos definir el momento flector M {\displaystyle M} actuante sobre el elemento, como la sumatoria de una par de fuerzas que actúan sobre la sección transversal, representadas por los esfuerzos normales actuando sobre el área de la sección transversal de la viga. Podemos expresar esto matemáticamente como:

M = − ∬ A z σ x d A {\displaystyle M=-\iint _{A}z\sigma _{x}dA}

Del mismo modo podemos definir la fuerza cortante Q {\displaystyle Q} actuante en la viga, como la sumatoria de las fuerzas actuantes sobre la sección transversal de la viga, es decir, los esfuerzos cortantes que actúan sobre el área de la sección transversal del elemento. Matemáticamente se expresa como:

Q = ∬ A τ x z d A {\displaystyle Q=\iint _{A}\tau _{xz}dA}

Reemplazando el valor de los esfuerzos normales σ x {\displaystyle \sigma _{x}} y los esfuerzos cortantes τ x z {\displaystyle \tau _{xz}} enunciadas en la sección denominada Campos de Esfuerzos, en las ecuaciones anteriores, tenemos que:

M = − ∬ A z E − z d θ d x d z d y = ∬ A z 2 d z d y E d θ d x = E I y d θ d x {\displaystyle M=-\iint _{A}zE\left-z{\frac {d\theta }{dx}}\rightdzdy=\iint _{A}z^{2}dzdyE\left{\frac {d\theta }{dx}}\right=EI_{y}{\frac {d\theta }{dx}}\qquad } Q = ∬ A τ x z d A = τ x z ∬ A d z d y = G d w d x − θ A = G A γ x z {\displaystyle Q=\iint _{A}\tau _{xz}dA=\tau _{xz}\iint _{A}dzdy=G\left{\frac {dw}{dx}}-\theta \rightA=GA\gamma _{xz}}

En donde d θ d x {\displaystyle {\frac {d\theta }{dx}}} es la deformación por flexión del elemento. Es de interés apreciar que d θ d x {\displaystyle {\frac {d\theta }{dx}}} y γ x z {\displaystyle \gamma _{xz}} dependen únicamente del eje coordenado x {\displaystyle x}.

La expresión para los esfuerzos normales σ x {\displaystyle \sigma _{x}}, nos indica que la variación a través del espesor del elemento es lineal, la cual podemos considerar exacta, de acuerdo la teoría clásica de vigas. ​ Con el fin de contrarrestar los problemas de esta formulación, se adopta un coeficiente de forma o distorsión α {\displaystyle \alpha }, que busca hacer coincidir el trabajo de deformación constante con el exacto. De este modo podemos expresar el esfuerzo tangencial τ x z {\displaystyle \tau _{xz}} como:

τ x z = α G γ x z {\displaystyle \tau _{xz}=\alpha G\gamma _{xz}\qquad }

Y la fuerza cortante como:

Q = α G A γ x z = G A ∗ γ x z {\displaystyle Q=\alpha GA\gamma _{xz}=GA^{\ast }\gamma _{xz}}

Donde A ∗ {\displaystyle A^{\ast }} se denomina área reducida de la sección transversal.